简谐振动（更新中）

简谐振动的合成

两个同方向，同频率的简谐振动的合成

由于运动是同方向的，可以将位移的合成表达为代数加法，即

$\vec x=\vec x_1+\vec x_2······(1)\\ x=A_1cos(\omega t+\phi_1)+A_2cos(\omega t+\phi_2)=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_1-\phi_2)}cos(\omega t+\phi)······(2) \\ where \text{ } \phi=arctan(\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2})······(3)$

这个推导是纯数学的，让我们用几何的方法来理解一下，即使用旋转矢量方法来现场计算一下这个值（毕竟背这个公式有点……）

这样可以直接由几何关系，利用余弦定理求得A，再利用比值法求得

$\phi$

下面讨论两种特殊的情况：

当两振动同相位（或可用诱导公式化为同相位）则：
$\text{if}\text{ }\phi_2-\phi_1=2k\pi,k\in N^+\\ \text{then }A=A_1+A_2$
当两振动反相位（或可用诱导公式化为反相位）则：

$\text{if}\text{ }\phi_2-\phi_1=(2k+1)\pi,k\in N^+\\ \text{then }A=\lvert{A_1-A_2}\rvert.$

多个同方向、同频率简谐振动的合成：旋转矢量

用《普通物理学》的一道经典例题来讲解一下。

由几何关系容易得到，若选取第一个质点（这里假设为质点）运动方向为旋转参考系的x轴正向，则有：

$A=2\cdot (Rsin\frac{N\alpha}{2})\\ \phi=\frac{(N-1)\beta}{2}\\ x=Acos(\omega t+\phi)\\=2\cdot (Rsin\frac{N\alpha}{2})\cdot cos[\omega t+\frac{(N-1)\beta}{2}]$

两个同方向不同频率的简谐振动的合成拍

两个同方向不同频率的简谐振动的和振动不再是简谐振动，下面先看一下它的一般表示

$x_1=A_1cos(\omega_1 t+\phi)\\x_1=A_2cos(\omega_2 t+\phi)\\x=x_1+x_2=A_1cos(\omega_1 t+\phi_1)+A_2cos(\omega_2 t+\phi_2)\\\text{if }A_1=A_2=A,\\x=2Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)cos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t+\phi)$

上式是一个相当复杂的运动，这里我们讨论一下：当

$\lvert\omega_2-\omega_1\rvert<<\omega_i,i=1,2$

条件下，令

$\omega_1\approx\omega_2\approx\omega\\ \text{so that }cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\approx1\\\frac{\omega_2+\omega_1}{2}\approx \omega\\x\approx 2Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)cos(\omega t+\phi)$

可以认为和运动近似为一个振幅为

$\lvert Acos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\rvert$

的变振幅运动，这个振幅变化的频率称为拍频，即

$\nu=\lvert \nu_2-\nu_1\rvert$

谐振分析和频谱

傅里叶变换：

傅里叶变换的定义

对于一个连续时间函数，其傅里叶变换定义为：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$

傅里叶逆变换

傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）将频域信号转换回时域信号：

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega$

离散傅里叶变换

对于离散时间信号 ( x[n] )，其离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT） ( X[k] ) 定义为：

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2\pi k n / N}$

其中，( N ) 是信号的长度，( k ) 是频率索引。

快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换。它利用了 DFT 的对称性和周期性，将计算复杂度从 ( O(N^2) ) 降低到 ( O(N · log N) )。

** 傅里叶变换的示例

假设我们有一个简单的时域信号

$f(t) = \cos(2\pi t)$

我们来计算它的傅里叶变换：

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \cos(2\pi t) e^{-i\omega t} \, dt\\ \text{利用欧拉公式} \\ cos(2\pi t) = \frac{e^{i2\pi t} + e^{-i2\pi t}}{2} \\我们有： \\ F(\omega) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \left( e^{i2\pi t} + e^{-i2\pi t} \right) e^{-i\omega t} \, dt \\ \\ = \frac{1}{2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(2\pi - \omega) t} \, dt + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(2\pi + \omega) t} \, dt \right) \\ \text{这两个积分都是狄拉克δ函数的定义，因此：} \\ F(\omega) = \frac{1}{2} \left( 2\pi \delta(\omega - 2\pi) + 2\pi \delta(\omega + 2\pi) \right) \\ \\ = \pi \left( \delta(\omega - 2\pi) + \delta(\omega + 2\pi) \right) \\$

可以重点考虑一种特殊的情况：各个分运动都为某个基频整数倍的谐振合成。

两个相互垂直的，同频率简谐振动的合成

先说结论：轨迹是一个椭圆。下面来尝试证明一下。

$x=A_1cos(\omega t+\phi_1)\\y=A_2cos(\omega t+\phi_2)\\消去t,则\\\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\\=\cos^2{(\omega t+\phi_1)}+\cos^2{(\omega t+\phi_2)}-2\cos(\omega t+\phi_1)\cos(\omega t+\phi_2)\\=[\cos(\omega t+\phi_1)-\cos(\omega t+\phi_2)]^2=\sin^2(\phi_2-\phi_1)$

这是一个椭圆的方程，由此方程可以得到，

$\text{if }\Delta \phi=\phi_2-\phi_1=0\\y=\frac{A_2}{A_1}\cdot x$
这表示此时，振动退化成一条直线上的简谐运动，直线的斜率为y轴振幅与x轴振幅之比，如果以上述直线为x’轴建立运动方程，则：
$x'=\sqrt{A_1^2+A_2^2}\cos({\omega t+\phi})$
$\text{if }\Delta\phi=\pm \pi\\...$
$\text{if }\Delta\phi= \pi/2,\\\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}=1$

两个相互垂直不同频率的简谐振动合成

阻尼振动受迫振动共振

阻尼振动

这里主要考虑一下阻力与速度成正比的情况，并且忽略所谓的辐射损失，推导阻尼振动的运动方程。设弹簧振子在线性阻力下运动，则：

$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma\frac{dx}{dt}\\\text{这是一个二阶常系数线齐次微分方程，我们讨论其解的结构：}\\\text{令}\omega^2_0=k/m,2\beta=\gamma/m,\\x''+2\beta x'+\omega_0^2x=0,\\ \lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0, \lambda_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\\1)\beta<\omega,x=A_0e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2 }\cdot t+\phi)\\2)\beta>\omega_0,x=Ae^{-(\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2})t}+Be^{-(\beta-\sqrt{\beta^2-\omega^2_0})t}\\3)\beta=\omega_0,x=e^{-\beta t}(A+Bt)$